What is the formula for the integral of a^x?

The indefinite integral of a^x with respect to x is equal to (1 / ln a) * a^x + c, where a > 0 and a != 1, and c is the constant of integration.

\( a^x \) 的积分 – 推导、公式与示例

计算不定积分：

\[ \int a^x \, dx \]

其中 \( a \) 是常数，且 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)。

我们首先对指数表达式 \( a^x \) 进行底数变换：

令 \( y = a^x \)，并在两边取自然对数（\( \ln \)）：

\[ \ln y = \ln(a^x) \]

利用对数性质 \( \ln(a^x) = x \ln a \)，将其改写为：

\[ \ln y = x \ln a \]

在两边应用指数函数得到：

\[ y = e^{x \ln a} \]

由于 \( y = a^x \)，我们得到恒等式：

指数底数转换： \[ a^x = e^{x \ln a} \]

利用该恒等式，给定的积分可以改写为：

\[ \int a^x \, dx = \int e^{x \ln a} \, dx \qquad (1) \]

现在我们使用换元法计算右侧的积分：

令 \( u = x \ln a \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = \ln a \)。根据定义 [1] [2] [3]，微分形式为 \( du = \ln a \, dx \)，或者 \( dx = \dfrac{1}{\ln a} \, du \)。

代入积分 (1) 中：

\[ \int e^{x \ln a} \, dx = \int e^u \left( \dfrac{1}{\ln a} \right) du = \dfrac{1}{\ln a} \int e^u \, du \]

计算标准积分 \( \int e^u \, du = e^u + c \)：

\[ = \dfrac{1}{\ln a} e^u + c \]

其中 \( c \) 为积分常数。

代回 \( u = x \ln a \)：

\[ = \dfrac{1}{\ln a} e^{x \ln a} + c \]

最后，利用关系式 \( e^{x \ln a} = a^x \)，我们得到了标准的积分公式：

\( a^x \) 的积分公式： \[ \int a^x \, dx = \dfrac{1}{\ln a} a^x + c \]